2012학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 15번

$x^3+2x-1=0$의 서로 다른 세 근이 모두 방정식 $(x^2+x+1)P(x)=1$의 근이므로

인 다항식 $Q(x)$가 존재한다.

즉, $(x^2+x+1)P(x)=(x^3+2x-1)Q(x)+1$이다.

그런데, $x^3+2x-1$을 $x^2+x+1$로 나눈 몫과 나머지는 각각 $x-1$, $\boxed{\text{(\char"AC00 )}}$이므로

이다. 등식 ㉠을 만족하는 다항식 $P(x)$의 차수가 최소가 되기 위해서는 $Q(x)$가 다항식이므로

이어야 한다. 따라서 $Q(x)=\boxed{\text{(\char"B098 )}}$이다.

그러므로 구하고자 하는 다항식 $P(x)=\boxed{\text{(\char"B2E4 )}}$이다.