2011학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 16번

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 $A_1(1,\sqrt3)$과 점 $B_1(2,0)$이 있다. 모든 자연수 $n$에 대하여 직선 $y=\sqrt3x$ 위의 점 $A_n$과 $x$축 위의 점 $B_n$이 다음 식을 만족시킨다.

삼각형 $OA_nB_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=5\sqrt3$이 되도록 하는 양의 정수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a,b)$의 개수는? (단, $O$는 원점이다.) [4점]