2010학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 14번

좌표평면에서 점 $(3,0)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 원을 $O_1$이라 하고, $x$축을 직선 $l_1$이라 하자.

직선 $l_1$을 원점을 중심으로 하여 $45^\circ$만큼 회전시킨 직선을 $l_2$라 하고, 직선 $l_2$와 원 $O_1$의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 $O_2$라 할 때, 두 원 $O_1$, $O_2$의 공통부분의 넓이를 $S_1$이라 하자.

직선 $l_2$를 원점을 중심으로 하여 $45^\circ$만큼 회전시킨 직선을 $l_3$라 하고, 직선 $l_3$와 원 $O_2$의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 $O_3$라 할 때, 두 원 $O_2$, $O_3$의 공통부분의 넓이를 $S_2$라 하자.

직선 $l_3$을 원점을 중심으로 하여 $45^\circ$만큼 회전시킨 직선을 $l_4$라 하고, 직선 $l_4$와 원 $O_3$의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 $O_4$라 할 때, 두 원 $O_3$, $O_4$의 공통부분의 넓이를 $S_3$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty S_n$의 값은?

[4점]