2008학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 24번

곡선 $y=x^2$ ($0\le x\le\sqrt5$)을 $y$축을 둘레로 회전시켜 만든 모양의 컵에 물이 들어 있다. [4점]

손가락으로 컵의 테두리를 일정한 속도로 문지를 때 생기는 소리의 공명주파수 $f$와 컵의 바닥으로부터 물의 높이 $h$의 관계는 다음과 같다.

그림과 같이 물의 높이 $h=1$일 때, 공명주파수가 $k$이다. 공명주파수 $2k$를 얻기 위해서 이 컵에 더 부어야 하는 물의 양을 $V$라 할 때, $\frac{5V}{\pi}$의 값을 구하시오. (단, 컵의 두께는 무시한다.)