2010학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 25번

좌표공간에서 $x$축을 포함하고 $xy$평면과 이루는 각의 크기가 $\theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$인 평면을 $\alpha$라 하자.

평면 $\alpha$가 구 $x^2+y^2+z^2=1$과 만나서 생기는 도형의 $xy$평면 위로의 정사영이 영역 $\left\{\left(x,\,y,\,0\right)\mid x+3y-2\le0\right\}$에 포함되도록 하는 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 최댓값을 $M$이라 하자. $60M^2$의 값을 구하시오. [4점]