2004학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 미분과 적분 29번

그림과 같이 지점 $\mathrm P$에서 서로 수직으로 만나는 두 직선 도로가 있다. 두 직선 도로 $\mathrm{PA}$, $\mathrm{PB}$에서 각각 $16\,\mathrm{km}$, $2\,\mathrm{km}$ 떨어진 마을을 지나고 두 직선 도로를 연결하는 새 직선 도로를 건설하려고 한다.

새 직선 도로와 도로 $\mathrm{PA}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 새 직선 도로의 길이가 최소이기 위한 $\tan\theta$의 값은? [4점]