2010학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 13번

<증명>

ⅰ) $n=1$일 때

$(\text{좌변})=\boxed{\text{(가)}}<2=(\text{우변})$이므로 성립한다.

ⅱ) $n=k$일 때 부등식이 성립한다고 가정하면

$\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt4}+\frac1{\sqrt6}+\cdots+\frac1{\sqrt{2k}}<2\sqrt k$

$n=k+1$일 때 성립함을 보이자.

$\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt4}+\cdots+\frac1{\sqrt{2k+2}}-\boxed{\text{(나)}}$

$<2\sqrt k+\frac1{\sqrt{2k+2}}-\boxed{\text{(나)}}$

$=\frac{2\sqrt2\sqrt{k^2+k}+1-2\sqrt2(k+1)}{\sqrt{2k+2}}$

이 때,

$(2\sqrt2\sqrt{k^2+k}+1)^2-\{2\sqrt2(k+1)\}^2\boxed{\text{(다)}}0$이므로

$\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt4}+\frac1{\sqrt6}+\cdots+\frac1{\sqrt{2k+2}}<2\sqrt{k+1}$

그러므로 $n=k+1$일 때도 부등식은 성립한다.

따라서 주어진 부등식은 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.